«گزری بر تاریخچه عدد پی»
عدد p (پي) سرگذشتي حداقل 3700 ساله دارد. پي يكي از مشهور ترين عددها در دنياي رياضي است. و نماد p يكي از حروف الفباي لاتين است.ساده ترين و بهترين راه معرفي p اين است :
قطر دايره/محيط دايره = p
در طول اين 37 قرن، دانشمندان زيادي سعي كردند مقدار p را حساب كنند. به عبارت ديگر آن ها سعي كردند تا نزديك ترين عدد به عدد p را به دست آورند.
قديمي ترين محاسبه ي به دست آمده، به 1700 سال پيش از ميلاد مسيح (ع) ، يعني حدود 3700 سال پيش مربوط مي شود. اين محاسبات روي پاپيروسي نوشته شده است كه در حال حاضر، در "مسكو" نگهداري مي شود.
اولين محاسبه ي رياضي p ، توسط ارشميدس و با كمك چند ضلعي ها انجام شد. او با 96 ضلعي منتظم، عدد پي را بين دو كسر 70/10 ‚3 و71/10 ‚3 به دست آورد .(تذكر:علامت / نشانه ي خط كسري است).
"لودلف وان كولن" آلماني ، در قرن هفدهم به كمك 720 ‚254 ‚212 ‚32 ضلعي منتظم، مقدار p را تا 32 رقم اعشار حساب كرد.
"غياث الدين جمشيد كاشاني" معروف به "الكاشي" در كتاب رساله ي محيطيه، p را تا 17 رقم پس از مميز حساب كرده است.
"بهاسيك هندي" در سال 1150 ميلادي، آن را به صورت كسر 7/22 يا جذر 10 نشان داده است.
"جان وايس" رياضي دان انگليسي براي p ، نسبت زير را پيشنهاد كرد:
(...×5×5×3×3×1×1 ) / (...×6×6×4×4×2×2) = 2/p
"لايپ نيتس " آلماني به عبارت زير دست يافت :
...+۱/۱۱-۱/۹+۱/۷-۱/۵+۱/۳-۱=۴/p
در سال 1949 ميلادي، به كمك رايانه ي اينياك ، پي تا 2037 رقم محاسبه شد. به تازگي برادران "چودنوفسكي" با بيش از پنج سال كار مداوم به كمك رايانه، p را تا 1011196691 رقم اعشار حساب كرده اند .
اگر مي خواهيد عدد p را تا ده رقم اعشار به خاطر بسپاريد تعداد حروف كلمات، در بيت دوم اين شعر به شما كمك خواهد كرد :
گر كسي از تو بپرسد ره آموختن p پاسخي ده كه هنرمند تو را آموزد
خرد و دانش و آگاهي دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما آموزد
۳ . ۱ ۴ ۱ ۵ ۹ ۲ ۶ ۵ ۳ ۵ =۳/۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵
عدد پی عددگنگی است که در اکثر محاسبات ریاضی به نحوی حضور دارد و از مهمترین اعداد کاربردی در ریاضیات می‌باشدو آن را با نمایش می‌دهند. در هندسه اقلیدسی دو بعدی، این عدد را نسبت محیط دایره به قطر دایره و یا مساحت دایره ای به شعاع واحد تعریف می‌کنند. در ریاضیات مدرن این عدد را در علم آنالیز و با استفاده از توابع مثلثاتی ، به صورت دقیق ریاضی تعریف می‌کنند.به عنوان نمونه عدد پی رادو برابر کوچکترین مقدار مثبت x ،که به ازای آن cos(x)=0 میشود تعریف می‌کنند.
تاریخچه :
بابلیان هنگامی که می‌خواستند مساحت دایره را حساب کنند،مربع شعاع آن را در 3 ضرب می‌کردند.البته لوح‌های قدیمی تری از بابلیان وجود دارد که مشخص می‌کند آنها مقدار تقریبی پی را برابر3.125 می‌دانستند.در مصر باستان مساحت دایره را با استفاده از فرمول محاسبه می‌کردند.( d قطر دایره در نظر گرفته می‌شد )که در نتیجه مقدار تقریبی عدد پی 3.1605 بدست می‌آید.
تقریب اعشاری عدد پی :
اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد.این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره بوسیله یک شش ضلعی منتظم
محیطیو یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.
ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند.از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد:
یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا 6 رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.
در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه های رایانه ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار میگیرد.
این فرمول به صورت زیر است:
با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا 707 رقم اعشار محاسبه کرد،در حالیکه فقط 527رقم آن درست بود.
امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته ترین رایانه ها تا میلیونها رقم محاسبه شده است. و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است.
عدد پی :
عدد پی عددگنگی است که در اکثر محاسبات ریاضی به نحوی حضور دارد و از مهمترین اعداد کاربردی در ریاضیات می‌باشدو آن را با نمایش می‌دهند. در هندسه اقلیدسی دو بعدی، این عدد را نسبت محیط دایره به قطر دایره و یا مساحت دایره ای به شعاع واحد تعریف می‌کنند. در ریاضیات مدرن این عدد را در علم آنالیز و با استفاده از توابع مثلثاتی ، به صورت دقیق ریاضی تعریف می‌کنند.به عنوان نمونه عدد پی رادو برابر کوچکترین مقدار مثبت x ،که به ازای آن cos(x)=0 میشود تعریف می‌کنند.
تاریخچه :
بابلیان هنگامی که می‌خواستند مساحت دایره را حساب کنند،مربع شعاع آن را در 3 ضرب می‌کردند.البته لوح‌های قدیمی تری از بابلیان وجود دارد که مشخص می‌کند آنها مقدار تقریبی پی را برابر3.125 می‌دانستند.در مصر باستان مساحت دایره را با استفاده از فرمول محاسبه می‌کردند.( d قطر دایره در نظر گرفته می‌شد )که در نتیجه مقدار تقریبی عدد پی 3.1605 بدست می‌آید.
محاسبه عدد پی:
کمی بیش از دو قرن است که نسبت طول محیط دایره را به قطر آن ،با نشانهπ می شناسند. این نشانه حرف اول یک کلمه یونانی به معنای محیط است.برای نخستین بار «ویلیام جون»،ریاضیدان انگلیسی،در سال ۱۷۰۶ از این نشانه استفاده کرد و از میانه سده هجدهم که« لیونارد اولر» کتاب «آنالیز» خود را چاپ کرد دیگر در همه جا به کار رفت.ولی خود مفهوم این عدد (البته بدون اینکه نشانه ای برای ان در نظر گرفته شده باشد )،بیش از چهارهزار سال سابقه دارد.آنها که هرم مشهور « خیوپو س » رامورد بررسی قرار د اده اند در نسبت اندازه های آن،رد پاهای اشکاری از این نسبت یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن دیده اند: خارج قسمتی که از تقسیم مجموع دو ضلع قاعده بر ارتفاع هرم به دست می آید، مساوی ۱۴۱۶/۳ است واین همان مقدار عدد π است که سه رقم بعد از ممیز ان دقیق است. «پاپیروس» معروف به «آهمس» روش زیر را برای ساختن مربعی که سطح دایره داشته باشد ،ذکر می کند: «از قطر دایره ، یک نهم آن را کنار بگذارید و مربعی بسازید که ضلع آن مساوی اندازه بقیه قطر باشد . این مربع هم ارز دایره خواهد بود .» از این مطلب نتیجه می شود که مقدار π برای آهمس ، برابر ۱۶۵۰/۳ بوده است . ظاهرا” سازندگان همرم ها ، از راز این عدد آگاه بوده اند.
در جریان چهار هزار سال بعد ، عددد πدچار دگرگونی های شدیدی شد . مقدار آن از ، که ارشمیدس داده بود و به صورت اعشاری آن ، ت دو رقم اعشار بعد از ممیز درست است ، به مقدار دقیق آن در سده نوزدهم رسید که تا ۷۰۷ رقم درست آن معلوم شد . در زمان ما به کمک حسابگرهای الکترونی ، مقدار عدد π تا بیش از ۱۰۰۰۰۰۰ رقم بعد از ممیز محاسبه شده است . سال ۱۸۸۲ را می تون در تاریخ عدد π ، تاریخ دگرگونی مهمی دانست . در این سال ، « لیندمان » ریاضیدان آلمانی ، خصلت اسرارآمیز این عدد را مشخص کرد : « عدد π نمی تواند ریشه ی یک معادله جبری با ضریب های صحیح باشد.»
تربيع دايره:
يونان باستان مساحت هر شكل هندسي را از را تربيع ان يعني از راه تبديل ان به
مربعي هم مساحت بدست مياوردند.از اين راه توانسته بودند به چگونگي
محاسبه ي هر شكل پهلودار پي ببرند ان گاه كه محاسبه ي مساحت دايره
پيش امد دريافتند كه تربيع دايره مساله اي نا شدني مينمايد.در هندسه ي
اقليدسي ثابت شده بود كه نسبت محيط هر دايره به قطر ان عدد ثابتي است
و مساحت دايره از ضرب محيط در يك چهارم قطر ان بدست مي ايد.
و مساله بدان جا انجاميد كه خطي رسم كنند كه درازاي ان با ان مقدار ثابت برابر باشد
رسم اين خط ناشدني بود. سرانجام راه چاره را در ان ديدند كه يك مقدار تقريبي
مناسب براي ان مقدار ثابت بدست اورند.
ارشميدس كسر بيست و دو هفتم را بدست اورد كه سالين دراز ان را به كار ميبردند
پس از ان و براي محاسبات دقيقتر كسر سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد و سيزده
را به كار بردند. اختلاف بين عدد پي و مقدار تقريبي سيصد و پنجاه و پنج بر روي صد
و سيزده فقط حدود 3 ده ميليونيم است.
رياضي دان بزرگ ايراني جمشيد كاشاني براي نخستين بار مقدار
ثابت نسبت محيط به قطر دايره را بدست اورد كه تا 16 رقم پس از مميز دقيق بود.
اين رياضي دان و منجم مسلمان ايراني توانست مقدار 2 را تا شانزده
رقم اعشار در رساله ي محيطيه برابر:
.....................................6.2831853071795865................................
بدست اورد.
در جمله ي زير هر گاه تعداد حرفهاي كلمه ها را در نظر بگيريد مقدار عدد پي تا ده
رقم پس از مميز بدست خواهد امد:
خرد و بينش و اگاهي دانشمندان ره سر منزل مقصود بما اموزد.
.۳...۱...۴.....۱........۵............۹.......۲...۳....۴.......۵......۳....۴....
همچنين اگر اين معادله را براي حل كنيد ريشه ي مثبت اين معادله مقدار عدد
پي را نشان ميدهد
«گزری دیگر بر تاریخچه عدد پی»
سابقه تاريخي عد«دپي »را در نوشته اي به نام پاپيروس يافته اند. در اين نوشته مصريان عدد پي را برابر با سه محاسبه كرده اند. همچنين رياضيدانان بابلي هم آن را به مقدار سه محاسبه نموده اند. رياضيدانان دو كشور بايد اين رقم را از راه تجربه نتيجه گرفته باشند بدين سبب مبناي دقيق علمي ندارد.
اين اظهارنظر دليل محكمي است كه در خواندن پاپيروس ضعف وجود دارد. زيرا بطور چشمگير آزمايش پيرامون دايره توسط هر وسيله اي به وضوح نشان مي دهد كه مقدار پيرامون تجربه شده از سه برابر قطر دايره بيشتر است. دانشمندان مصري سازنده اهرم ثلاثه (هرم گيزا و غيرو) چگونه از اين مطلب آگاهي نداشته اند، جاي تعجب است.
مي نويسند: در عهد عتيق روايت شده است كه حضرت سليمان دستور داد جامي براي او بسازند كه قطر دهانه آن ده آرنج و محيط آن سي آرنج باشد. به موجب اين جملات تلقين مي گردد كه حضرت سليمان (ع) از مقدار عددپي بي اطلاع و از مسائل رياضي بي بهره بوده است.
ارشميدس به ثابت بودن نسبت محيط دايره به قطر آن پي برد. نودوشش ضلعي منتظم محاط در دايره به او كمك كرد تا نسبت يا را تعيين كند كه به مقدار واقعي عددپي بسيار نزديك است.
فرانسوا ويت فرانسوي با استفاده از ۳۹۲۲۱۶ ضلعي منظم مقدار عددپي را تا نه رقم اعشار حساب كرد اين جمله فاقد اعتبار است. زيرا چنين چندضلعي منتظمي را نمي شود رسم كرد. امروزه كه وسايل بسيار پيشرفته اي را در اختيارد اريم از عهده اين عمل برنمي آييم. فرض و تخيل را جانشين عمل نموده آن را مبناي محاسبات قرارداده ايم. ويليام شنك عددپي را تا هفت صدوهفت رقم دهدهي حساب كرده كه عدد به دست آمده او را در قصر اكتشافات پاريس در غرفه مربوط به علوم رياضي به صورت نواري دورتادور تالار نوشته اند.نسبت پيرامون دايره را به قطر آن با حرف يوناني پي نشان مي دهند. امروز با دستگاههاي حسابگر تا سه هزاررقم اعشار را براي عدد پي محاسبه كرده اند. صحت و سقم اين عدد احتياج به بررسي و تحقيق دارد. لذا به بررسي مي پردازيم.
دايره به مركز O و شعاع واحد EO را رسم نموده و آن را براي مطالعه در نظر مي گيريم. چندضلعي هاي منتظم محيطي و محاطي آن را رسم مي كنيم.
مي گويند هر قدر تعداد اضلاع اين دوچند ضعلي منتظم بيشتر شود پيرامون اين دو چندضلعي به هم نزديك شده تا سرانجام بر هم منطبق مي گردند. قطعاً اين اتفاق بايد روي پيرامون دايره به وقوع بپيوندد.اين موضوع اولاً غيرممكن ثانياً كارگشا نيست. غيرممكن از آن جهت كه خطوط منحني و مستقيم غيرقابل انطباق اند. به فرض محال كه ممكن الوقوع باشد پيرامون دو چند ضلعي منتظم بر دايره سبب مساوي بودن انطباق كامل پيدا مي كند. سه پيرامون تبديل به يك پيرامون مي شود كه همانا پيرامون دايره است. مشكل مجدداً ظاهر مي شود. مقدار پيرامون اين دايره به قطر آن چقدر است؟
دايره به مركزO و شعاع EO ترسيم شده را مجدداً در نظر مي گيريم. دو قطر EA و NL آنرا عمود برهم مي كشيم. وتر قوس EL را رسم نموده براي توجه بيشتر قوس مربوطه را پاك مي كنيم. مطابق شكل.
به دست آوردن نسبت دو پاره خط EA و EL يكي به عنوان قطر دايره و ديگري به عنوان وتر آن كار سهل و ساده اي است.
ويا دانستن نسبت دو قوس EA و AL نيز بسيار آسان است.
دليل سهولت امر كاملاً مشخص است. دوپاره خط و دو قوس چون هر كدام از مقوله واحدي مي باشند اشكالي ايجاد نكرده صعوبتي را پيش پايمان قرارنمي دهند.قصد و غرض ما دانستن نسبت قوس EA به پاره خط EO است. چون از يك مقوله نيستند انطباق هم كه صورت نمي گيرد لذا دستيابي به خواسته دشوار و در حد غيرممكن بروز مي كند. دانشمندان و متفكرين گذشته به اين نظررسيدند كه يا قوس را به صورت خط راست درآورند و يا خط راست را به شكل قوس تبديل كنند. لذا كوشش ها به اين سمت و سو كشيده شد. مطالعه آثار اين دانشمندان راه را براي تحقيق باز نمود. تحقيق در اين زمينه را به اتفاق بررسي مي نمائيم.
دايره به مركز O و شعاع EO را رسم مي كنيم. دو قطر EA و NL عمود بر هم آن را مي كشيم. وتر زاويه قائمه و يا وتر قوس نود درجه EL را رسم مي نمائيم. بطوري كه گفته شد مقدار قوس EA دوبرابر مقدار قوسLA است. شكل يك. پاره خط EA را به منزله قوس EA و پاره خط LA را مماس بردايره به منزله قوسLA در نظر مي گيريم. شكل دو. دقيقاً مي دانيم كه پاره خط EA دوبرابر پاره خط LA است. (خودترسيم كرده ايم) بدون آنكه پاره خط EA از روي نقطه E خارج شود پاره خط EA را انتقال مي دهيم تا نقطه E بر نقطه A قرار گيرد و نقطه I ايجاد شود. (تعداد بي شماري نقطه را مي توان برهم قرارداد بدون آنكه از صورت نقطه بودن بدرآيند. طبق تعريف نقطه)
حال اگر از نقطه A به مركز دايره نقطه O وصل نماييم ادامه آن از نقطه Lمي گذرد. درواقع دو پاره خط AL و NL بريكديگر منطبق مي گردند شكل سه.
دليل. مثلث ايجاد شده ALI قائم الزاويه است. چون دو پاره خط AI و LI نسبت يك به دواند. زاويه AIL بايد شصت درجه و زاويه IAL سي درجه باشد. جالب و قابل تعمق است كه به وضعيت قوس نوددرجه و وتر مربوط به آن EL كوچكترين خللي وارد نمي شود. حال مي توان نسبت وتر اين مثلث پاره خط AI را نسبت به شعاع دايره EO به دست آورد. اين روش انحصاري در مورد كليه دواير صادق است. زيرا دايره ديگري رسم مي كنيم كه شعاع آن دقيقاً دو واحد باشد. بطور قطع و مسلم طول وتر به دست آمده از مثلث مربوط به اين دايره دوبرابر وتر مثلث قبلي است. محاسبات بطور دقيق نشان مي دهند كه نسبت وتر به شعاع اين دايره با مقدار قبلي برابر و ثابت است.
براساس نسبت به دست آمده از اين روش مربعي را يافته ام كه مساحتش با دقت ۳۰ـ۱۰*۱با مساحت دايره برابر است. با اين روش هر مقدار قوس دايره را مي توان تبديل به پاره خط نموده و يا هر مقدار پاره خطي را مي توان به صورت قوسي از دايره دلخواه درآورد.
جايي كه از فرد بسيار معمولي اينگونه تحقيق برآيد از انبيا و رسل كه مقربان درگاه حضرت احديت تعالي شانه هستند و الهه اعلم.
باتشکر
نظرات شما عزیزان:
